Déplacement Moyenne Filtre Phase Linéaire

Introduction aux filtres linéaires Cette section donne une vue d'ensemble de l'utilisation des fonctions de filtrage (linéaires) dans le Dataplore reg et la conception de filtres linéaires en général. La tâche de filtrage apparaît souvent dans un contexte où des altérations dépendantes de la fréquence d'un signal doivent être effectuées. Des filtres peuvent être utilisés pour le filtrage, c'est-à-dire l'extraction d'informations sur une quantité d'intérêt au temps t par observation des échantillons précédents jusqu'à t (filtrage causal). Lissage, utilisé comme méthode de réduction du bruit, où également les échantillons précédents peuvent être utilisés pour modifier l'échantillon courant. Prédiction, c'est-à-dire l'estimation d'une certaine quantité se produisant à l'avenir à partir d'un certain nombre d'échantillons passés. Le filtre le plus courant, le plus simple et le plus rapide est obtenu par des filtres linéaires. Le filtrage linéaire d'un signal peut être exprimé comme la convolution du signal d'entrée x (n) avec la réponse impulsionnelle h (n) du filtre donné, c'est-à-dire la sortie du filtre résultant de l'entrée d'une impulsion Dirac idéale La transformée de Fourier de h (N) donne la réponse en amplitude du filtre. La forme générale d'un filtre linéaire discret est donnée par l'équation de différence où x est le signal d'entrée, y est le signal de sortie du filtre et sont les coefficients du filtre. Max (M, N) est l'ordre du filtre qui est au moins égal à 1. Si N 0, la réponse impulsionnelle h (n) du filtre se compose d'un nombre fini d'échantillons inégaux à zéro et le filtre est une réponse impulsionnelle finie (FIR) ou non récursif, avec une partie récursive dans la structure de filtre (N gt 0), la réponse impulsionnelle est (théoriquement) infinie et le filtre est un filtre à réponse impulsionnelle infinie (IIR). Dans le contexte des processus stochastiques filtrés, les filtres FIR sont également appelés filtres de moyenne mobile (MA) et les filtres IIR sont également appelés filtres ARMA (auto-regressive) ou ARV («auto-regressive»), selon qu'ils sont purement Récursives (M 0) ou ont une partie non récursive (M gt 0), respectivement. Conception du filtre Le type de filtre à concevoir et à appliquer dans un but déterminé dépend très souvent des conditions auxquelles doit satisfaire la fonction de transfert. Ces conditions pourraient, par ex. Comprennent une phase linéaire (c'est-à-dire un retard constant), une certaine atténuation de bande d'arrêt, une forme d'amplitude arbitraire ou un ordre de filtre minimal. Filtres de domaine de fréquence Une des approches les plus simples et les plus commodes pour modifier les propriétés spectrales d'un signal par filtrage consiste à appliquer un filtre de domaine de fréquence, c'est-à-dire à effectuer l'opération de convolution en multipliant la fonction de transfert H et la transformée de Fourier X Du signal d 'entrée x dans le domaine fréquentiel selon où les lettres majuscules désignent les transformées de Fourier des signaux respectifs et. Le filtrage dans le domaine de la fréquence donne des performances supérieures par rapport aux autres techniques de conception de filtre décrites ci-dessous, mais ne peut être appliqué qu'en mode hors ligne, c'est-à-dire que le signal complet est déjà accessible. Filtres à réponse impulsionnelle infinie (IIR) La conception des filtres numériques IIR peut être effectuée de manière similaire à la conception de filtre analogique classique (prototypage analogique), y compris les méthodes traditionnelles telles que Butterworth, Chebyshev ou les filtres elliptiques (ou Cauer). Les filtres IIR ont généralement des réponses de phase hautement non linéaires, mais répondent aux spécifications de réponse de grandeur avec un ordre de filtre beaucoup plus faible que les filtres FIR. Les filtres de faible ordre sont les plus efficaces en termes de temps de traitement et sont faciles à paramétrer. La figure ci-dessous montre un modèle utilisé pour la spécification d'un modèle de filtre passe-bas dans le domaine fréquentiel. La conception des filtres passe-haut, passe-bande et bande IIR peut être dérivée de ce modèle. Figure 3.1: Modèle de conception de filtre IIR est la largeur de transition. Est appelée ondulation de bande passante et est l'atténuation en bande d'arrêt du filtre IIR à concevoir. Les types de filtre IIR actuellement disponibles basés sur le prototypage analogique dans Dataplore reg sont Butterworth. Ce type de filtre a une réponse de grandeur monotone qui est maximale à plat dans la bande passante. La fréquence de coupure est à (ou -3dB) la réponse d'amplitude initiale. La figure ci-dessous montre la réponse en amplitude d'un filtre Butterworth pour différents ordres de filtre N. Figure 3.2: Réponse de magnitude du filtre de Butterworth Chebyshev. Ce type de filtre est équivalent (c'est-à-dire avec des ondulations de hauteur égale) dans la bande passante avec une réponse d'amplitude de bande d'arrêt qui est maximale à plat. Il minimise la différence entre la réponse de fréquence idéale et réelle. La fréquence de coupure est en fonction du modèle de conception de filtre montré précédemment. La figure ci-dessous montre la réponse de magnitude d'un filtre de Chebyshev. Figure 3.3: Réponse en amplitude du filtre de Chebyshev Elliptique (Cauer): Ce type de filtre est équirippé (voir ci-dessus) à la fois dans la bande passante et dans la bande d'arrêt mais atteint la plus petite largeur de transition avec l'ordre le plus bas de l'un des types de filtres décrits ci-dessus. La fréquence de coupure est en fonction du modèle de conception de filtre montré précédemment. La figure ci-dessous montre la réponse en amplitude d'un filtre elliptique. Les filtres FIR numériques peuvent être conçus de manière à offrir une phase exactement linéaire ou même nulle et, contrairement aux filtres IIR, ils sont toujours stables. Les filtres offrant une réponse de phase linéaire appliquent un retard de phase constant de la moitié de l'ordre du filtre à toutes les composantes de fréquence du signal d'entrée, évitant ainsi le frottement des impulsions ou des bords large bande. Les filtres à phase zéro ne présentent aucune distorsion de phase du tout, ils sont mis en œuvre comme des filtres acausal avec un traitement de retard spécialisé. Il existe plusieurs façons de concevoir des filtres FIR, l'un d'eux est la méthode dite de fenêtre. Etant donné que les coefficients d'un filtre FIR sont identiques à la réponse impulsionnelle discrète du filtre, ils peuvent être facilement obtenus par rétrotransformation de la fonction de transfert idéale dans le domaine temporel. Cela conduit à des réponses impulsionnelles acausal de longueur infinie. Le raccourcissement et la pondération de ces réponses impulsionnelles par l'application (multiplication) d'une certaine fonction de fenêtre correspond à une opération de convolution dans le domaine fréquentiel. Il existe des fonctions de fenêtre qui - par rapport à la fenêtre simple rectangulaire (Boxcar) - réduisent la quantité d'ondulation aux bords de la bande, mais sacrifient la pente du roulis (atténuation par bande de fréquence) d'autre part. Les fonctions de fenêtre actuellement disponibles pour la conception de filtre FIR dans Dataplore reg sont Potter et Kaiser. Où ces derniers peuvent être paramétrés de manière optimale de manière à minimiser les erreurs d'approximation. Elle est définie par où M est la longueur de fenêtre, et est la fonction de Bessel modifiée du premier ordre zéro. M et (un paramètre de forme) peuvent être choisis de manière optimale. Ce choix se fait automatiquement par Dataplore reg. Une autre approche est la conception de filtre FIR selon Parks et McClellan. Un ajustement optimal entre la réponse de fréquence souhaitée et la réponse de fréquence réelle est obtenu par l'utilisation de l'algorithme d'échange de Remez et de la théorie de l'approximation de Chebyshev (voir RabinerParksMcClellan 2 pour plus de détails). Les réponses en fréquence des filtres FIR de Parks-McClellan présentent un comportement équivalent (voir ci-dessus) et peuvent être utilisées pour la conception de filtres avec une réponse de grandeur arbitraire. La réponse en fréquence d'un système LTI est la DTFT de la réponse impulsionnelle, La réponse impulsionnelle d'une moyenne mobile L-échantillon est. Puisque le filtre de moyenne mobile est FIR , La réponse en fréquence se réduit à la somme finie Nous pouvons utiliser l'identité très utile pour écrire la réponse en fréquence comme où nous avons laissé ae moins jomega. N 0 et M L moins 1. On peut s'intéresser à l'ampleur de cette fonction afin de déterminer quelles fréquences passent par le filtre sans atténuation et qui sont atténuées. Ci-dessous un graphique de l'ampleur de cette fonction pour L 4 (rouge), 8 (vert) et 16 (bleu). L'axe horizontal va de zéro à pi radians par échantillon. Notez que dans les trois cas, la réponse en fréquence a une caractéristique passe-bas. Une composante constante (fréquence zéro) dans l'entrée passe par le filtre sans atténuation. Certaines fréquences plus élevées, telles que pi 2, sont complètement éliminées par le filtre. Cependant, si l'intention était de concevoir un filtre passe-bas, alors nous n'avons pas très bien fait. Certaines des fréquences plus élevées sont atténuées seulement par un facteur d'environ 110 (pour la moyenne mobile à 16 points) ou 13 (pour la moyenne mobile à quatre points). Nous pouvons faire beaucoup mieux que cela. Le diagramme ci-dessus a été créé par le code Matlab suivant: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) Iomega8)) (1-exp (-iomega)) tracé (oméga, abs (H4) abs (H8) abs (1-exp (-iomega) H16)) axe (0, pi, 0, 1) Copie Copyright 2000- - Université de Californie, Berkeley